Das Ising-Modell - gestern und heute

S. Kobe

(Prof. Dr. Sigismund Kobe, Professur für Theorie ungeordneter Festkörper, Technische Universität Dresden, D-01062 Dresden)

Am 11. Mai 1998 - einen Tag nach Vollendung seines 98. Lebensjahres - starb der Physiker und Lehrer Ernst Ising in seinem Haus in Peoria/IL (U.S.A.). Das nach ihm benannte Modell gilt als Standardmodell der Statistischen Physik und nimmt als solches in der Geschichte der Theoretischen Physik in diesem Jahrhundert einen wichtigen Platz ein. Heute wird es vielfach zur Beschreibung und Computersimulation von geordneten und ungeordneten komplexen Systemen in verschiedenen Wissenschaftsgebieten angewendet.


Historisches

Wolfgang Pauli antwortete auf eine Anfrage von H.B.G. Casimir, der während des zweiten Weltkrieges von den aktuellen Entwicklungen in der Theoretischen Physik abgeschnitten war, was denn in dieser Zeit auf diesem Gebiet wissenschaftlich passiert sei: "Nicht so viel Interessantes ... außer Onsagers exakter Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells" [1]. Dabei hatte Pauli die Entwicklung dieses Modells in seinen Anfängen aus nächster Nähe mitverfolgen können, denn er wurde 1922 "wissenschaftlicher Hilfsarbeiter" bei Wilhelm Lenz in Hamburg. In dieser Zeit hatte Lenz seinem Studenten Ernst Ising die Aufgabe gestellt, die von ihm schon 1920 in Rostock entwickelte Idee von einer mikroskopischen Beschreibung des Ferromagnetismus [2] mathematisch auszuarbeiten. Isings Doktorarbeit und die nachfolgende Publikation [3] behandelten den eindimensionalen Fall. Er fand, daß für diesen kein Phasenübergang bei endlichen Temperaturen existiert. Aus diesem Grund und wegen der wenig später von Werner Heisenberg entwickelten quantenmechanischen Beschreibung des Ferromagnetismus blieb das Modell eine zeitlang unbeachtet. Der Name "Ising-Modell" wurde vermutlich durch Rudolf Peierls geprägt, der 1936 eine Arbeit unter dem Titel "On Ising's Model of Ferromagnetism" veröffentlichte. Mit der Betrachtung des zweidimensionalen Falles begründete er die weitere Entwicklung, die schließlich zu Onsagers Lösung führte.

Ernst Ising, ca. 1925


Ernst Ising im Alter von 95 Jahren mit Ehefrau Johanna (94) im März 1996 in Peoria, USA (Foto: S. Kobe)

Über die Biographie des als Sohn jüdischer Eltern 1900 in Köln geborenen und bis 1939 in Deutschland lebenden Ernst Ising ist an anderer Stelle berichtet worden [4]. Ising, der ein leidenschaftlicher Lehrer war und der als Professor für Physik an der Bradley University in Peoria auch für seine exzellenten Vorlesungsversuche bekannt geworden ist, war von der Resonanz auf das Modell, das seinen Namen trägt, überwältigt. In der ihm eigenen Bescheidenheit schrieb er 1994 an den Autor: "Ich weise gern darauf hin, daß das Modell eigentlich Lenz-Ising-Modell heißen sollte. Mein Lehrer, Dr. Wilhelm Lenz, hatte die Idee ...".

Das Modell

Die Lenzsche Idee zur Erklärung der spontanen Magnetisierung einer ferromagnetischen Substanz ging von der Vorstellung aus, daß die magnetischen Momente der Atome nur zwei entgegengesetzte Einstellungen haben können und eine potentielle Energie zwischen Nachbarn existiert, die eine Parallelstellung begünstigt [2]. Etwas allgemeiner wird das Ising-Modell heute durch die folgende Annahmen definiert: Ein System bestehe aus vielen gleichartigen Elementen und jedes Element sei in der Lage, nur zwei diskrete Zustände einzunehmen, also entweder "auf" oder "ab", "plus" oder "minus", "null" oder "eins", "lachend" oder "weinend"... Zwischen den Elementen existiert eine paarweise Wechselwirkung dergestalt, daß sich die Einstellung eines Elements nach derjenigen seines Partners richtet (Abb. 1). Für das System entsteht dann ein Zustand kollektiver Ordnung, der für T=0 durch den Grundzustand der Hamiltonfunktion des Ising-Modells

beschrieben wird. Dabei bezeichnet Si den Zustand des Elements i und Jij die Stärke der Wechselwirkung. Insbesondere wird häufig der Fall betrachtet, dasßß sich die Si auf Gitterplätzen befinden und die Summation in (1) nur über alle benachbarten Paare i und j geführt wird. Mit der Größe

- der Magnetisierung oder allgemeiner dem Ordnungsparameter - läßt sich der Ordnungszustand des Systems beschreiben. Im Formalismus der Statistischen Physik nimmt die Ordnung mit zunehmender Temperatur ab, und der Wert des Ordnungsparameters verringert sich. Bei einer bestimmten Phasenübergangstemperatur TC geht das System vom geordneten zum ungeordneten Zustand über.


Abb. 1: Beim Ising-Modell kann jedes Element nur zwei Zustände einnehmen. Die Wechselwirkung bevorzugt die Parallelstellung gekoppelter Paare für J>0 (oben) bzw. die Antiparallelstellung für J>0 (unten). (Grafik: R. Kobe)

Phasenübergang und kritische Phänomene

Bis zum Beginn der vierziger Jahre war nicht klar, ob es mit dem Formalismus der Statistischen Physik überhaupt möglich ist, Phasenübergänge zu beschreiben. Zu diesem Zeitpunkt hatten unabhängig voneinander mehrere Autoren herausgefunden, dasßß sich für Systeme mit Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn die Zustandssumme asymptotisch aus dem größten Eigenwert einer sogenannten Transfer-Matrix gewinnen läßt. Kramers und Wannier hatten erkannt, daß sich das zweidimensionale Ising-Modell auf einem quadratischen Gitter mit Jij=J wegen seiner Einfachheit besonders gut als Objekt der Untersuchungen eignet [5]. Sie entdeckten, daß die Transfer-Matrix bei einer Transformation von hohen zu tiefen Temperaturen invariant bleibt und schlossen aus den Symmetrieeigenschaften dieser Transformation auf den exakten Wert von TC. Darauf aufbauend lieferte Lars Onsagers die exakte und vollständige Lösung des Problems [6]. Damit war erstmals der Nachweis erbracht, daß bei der Phasenübergangstemperatur Singularitäten in den thermodynamischen Funktionen auftreten. Allerdings gelang es bisher nicht, das Ising-Modell in zwei Dimensionen unter Einbeziehung eines äußeren Feldes oder in höheren Dimensionen exakt zu lösen, obgleich es inzwischen mittels Näherungsverfahren und Computersimulationen gelang, auch hierfür sehr genaue Werte für TC zu bestimmen (Tab. 1).

Thermodynamische Größen zeigen bei Annäherung an TC ein kritisches Verhalten. Dieses ist gekennzeichnet durch ein Potenzgesetz der Form

mit als kritischen Exponenten. Dessen Wert hängt von der betrachteten thermodynamischen Größe A und ggf. auch davon ab, ob man sich TC von höheren oder von tieferen Temperaturen aus annähert. Allerdings sind die kritischen Exponenten nicht unabhängig voneinander, sondern müssen bestimmte Skalengesetze befriedigen. Da man für das zweidimensionale Ising-Modell die kritischen Exponenten exakt angeben kann, läßt sich die Gültigkeit der Skalengesetze nachprüfen (vgl. Tab. 2).


Imitation und Kooperation

Das Ising-Modell wurde zur Beschreibung des Ferromagnetismus entwickelt, lä:ßt sich aber in der Physik auf unterschiedliche Probleme anwenden. Am bekanntesten ist seine Isomorphie mit dem Gittergasmodell: Die Plätze eines Gitters können entweder mit Atomen besetzt oder unbesetzt sein. Nur benachbarte besetzte Plätze unterliegen einer (anziehenden) Wechselwirkung gleicher Stärke. Aber auch in vielen anderen Wissenschaftsgebieten gibt es analoge Fragestellungen, für die sich mit dem Ising-Modell die Möglichkeit eröffnet, komplexe Sachverhalte in vereinfachter Form einer mathematischen Behandlung zu erschließen. Betrachtet man z.B. Tierherden, Vogel- oder Fischschwärme, so wird das Prinzip der sozialen Imitation sichtbar. Offenbar richtet sich das Verhalten eines Individuums nach dem seiner Nachbarn. Das Ergebnis ist ein - biologisch vorteilhaftes - Erscheinungsbild einer ganzen Gruppe. Man denke auch an die Bildung von "la ola" auf den Rängen eines Fußballstadions. Callen und Shapero haben durch Einfährung der Abstraktion "Ising-Fisch", der nur nach zwei entgegengesetzten Richtungen schwimmen kann, eine Theorie der sozialen Imitation bei Fischschwärmen vorgeschlagen [7]. In analoger Weise wurde das Ising-Modell auch zur mathematischen Beschreibung von Erscheinungen der Kohärenz auf Kapitalmärkten herangezogen [8]. Schließlich sei noch ein Beispiel aus der Biologie erwähnt. Die Ionenkanäle in Membranen können entweder geöffnet oder geschlossen sein. Auch in diesem Fall beoachtet man kooperative Phänomene dergestalt, daß der Zustand eines Ionenkanals von den Zuständen der benachbarten Kanäle beeinflußt wird [9].

Frustration und Unordnung

Das Ising-Modell läßt sich auf vielfältige Weise erweitern, z.B. hinsichtlich der Reichweite der Wechselwirkung über die nächsten Nachbarn hinaus, Verdünnung der Wechselwirkungen oder der Gitterplätze bis zur Perkolationsgrenze, Annahme von p>2 diskreten Zuständen pro Element (Potts-Modell). Benutzt man für die Wechselwirkungsstärken Jij in (1) negative Werte, so erhält man ein Modell für den Antiferromagnetismus, bei dem die antiparallele Ausrichtung benachbarter Elemente bevorzugt wird. Für den Fall, daß nächste Nachbarn eines Elements selbst nicht wieder zueinander nächste Nachbarn sind wie z.B. bei einem kubisch-raumzentrierten Gitter, läßt sich das Problem auf den entsprechenden ferromagnetischen Fall zurückführen. Andernfalls haben wir es mit einem neuen Effekt zu tun, der mit Frustration bezeichnet wird: Das System ist nicht in der Lage, den Grundzustand einzunehmen, der alle Wechselwirkungen gleichzeitig befriedigen würde. Physikalische Konsequenzen der Frustration werden z.B. beim antiferromagnetischen Dreiecksgitter offensichtlich [10]: Der Grundzustand ist hochgradig entartet, und es existiert kein Phasenübergang bei endlichen Temperaturen.

In den letzten zwanzig Jahren wurden Modelle für Spingläser intensiv untersucht, für die das gleichzeitige Vorliegen von Frustration und Unordnung charakteristisch ist. Hierzu benutzt man das Ising-Modell unter der Annahme, daß die Wechselwirkungen Jij zwischen nächsten Nachbarn entweder einer Gauß-Verteilung genügen oder stochastisch und gleichverteilt die Werte +J und -J besitzen. Im Gegensatz zum geordneten Ising-Modell wird in diesen Fällen die Bestimmung des Grundzustandes, d.h. das Auffinden des Minimums von (1) bei vorgegebenem Satz der Jij, zu einem komplizierten mathematischen Problem der nichtlinearen diskreten Optimierung, das sich für endliche Systeme nur numerisch lösen läßt. Vermutlich muß dieses Problem sogar der Klasse der NP-harten Probleme (non-polynomial) zugerechnet werden, d.h. der numerische Aufwand der Lösungsalgorithmen wächst stärker als polynomial mit der Anzahl N der Elemente (siehe auch Abb. 2). Analytische Zugänge und Näherungslösungen werden für das Sherrington-Kirkpatrick-Modell diskutiert, bei dem man von einer vollständigen Vernetzung aller Elemente und einer Gauß-Verteilung der Jij ausgeht.



Abb. 2b: Schema der 98710 Zustände niedrigster Energie (Grundzustände der Energie E0 sowie alle Zustände der ersten und zweiten Anregungsenergien E1 und E2) des Systems von Abb. 2a. Die Größe der Kreisflächen ist proportional zur Menge der Spinkonfigurationen, die entweder durch einen Ein-Spin-Flip oder durch eine sukzessive Folge von Ein-Spin-Flips auseinander hervorgehen. Links ist die Skalierung des Maßstabs für die unterschiedlichen Anregungsniveaus angegeben. Zwei Kreisflächen sind dann miteinander verbunden, wenn es mindestens eine Möglichkeit gibt, von einer Spinkonfiguration der einen Menge durch einen Ein-Spin-Flip zu einer Spinkonfiguration der anderen Menge zu gelangen (nach: T. Klotz, S. Kobe, acta phys. slovaca 44 (1994) 347).

Die Untersuchungen zum Spinglas-Zustand mit Hilfe des Ising-Modells haben die Modellbildung anderer komplexer Systeme mit Frustration und Unordnung nachhaltig beeinflußt. Am bekanntesten ist das Hopfield-Modell [11] für künstliche neuronale Netze, dessen Formulierung auf der Basis des Ising-Modells im Jahre 1982 einen starken Impuls auf die Entwicklung eines neuen interdisziplinären Wissenschaftszweiges ausübte, den man heute unter dem Begriff Neuroinformatik zusammenfaßt. Mit den Modellannahmen von vernetzten Neuronen, die zweier Zustände ("ruhend" oder "feuernd") fähig sind, und synaptischen Kopplungen mit den Eigenschaften "Verstärkung" bzw. "Hemmung" der Eingangssignale ist es möglich, Informationen zu speichern. Für den Prozeß der Einprägens werden Lernregeln benutzt, die die Stärken synaptischen Kopplungen und damit die Grundzustände des Netzes festlegen. Das Wiedererkennen gelernter Informationsinhalte - z.B. nach Eingabe verrauschter Muster - erfolgt über Relaxationsprozesse. Erwähnt seien weiterhin Beziehungen zu Modellen für Proteine, bei denen polare bzw. hydrophobe Aminosäuren aufgrund ihrer unterschiedlichen Wechselwirkung bei Kontakten miteinander die kompakte Struktur des gefalteten Proteins bestimmen. Schließlich ist es naheliegend, daß das Ising-Modell mit Frustration und Unordnung auch zur Beschreibung von sozialen, politischen und ökonomischen Strukturen herangezogen werden kann. So benutzt z.B. Kohring ein Modell für die Meinungsbildung in einem Zwei-Parteien-System [2]. Dabei wird die Zugehörigkeit des Individuums zu einer der Parteien durch die Variable Si gekennzeichnet. Die Wechselwirkungsparameter Jij beschreiben, wie überzeugend das Individuum j auf i wirkt, d.h., ob es j gelingt, i von einem Meinungswechsel abzuhalten, wenn es zur gleichen Partei gehört wie j, oder es umzustimmen, wenn es zur anderen gehört. Ein ökonomisches System besteht ebenfalls aus einer großen Zahl von wechselwirkenden Elementen und enthält vielfach Aspekte von Frustration und Unordnung. Mit Hilfe der Methoden der Statistischen Physik hat sich in jüngster Zeit ein neuer Wissenschaftszweig unter der Bezeichnung "Econophysics" entwickelt [13].

Schlußbemerkung

Das Ising-Modell beschreibt in einfachster Weise Systeme mit Wechselwirkung und läßt sich daher auf Probleme anwenden, bei denen Einteilchen- und Quasi-Einteilchen-Modelle versagen. Es gehört zu den wenigen Modellen der Statistischen Physik, mit denen Phasenübergänge exakt beschreiben lassen. Seine gegenwärtige Bedeutung ergibt sich aus der Möglichkeit der Diskussion von Grenzfällen bei komplizierteren Modellen der Quantenstatistik, der Anwendbarkeit für Computersimulationen und der Vielfalt von möglichen Modellerweiterungen. Letztere haben zunehmend zur Mathematisierung komplexer Fragestellungen in vielen Bereichen der Wissenschaft geführt.
[1] E.W. Montroll, Physics Today, Februar 1977, S. 77
[2] W. Lenz, Phys. Zeitschrift 21, 613 (1920)
[3] E. Ising, Zeitschrift f. Physik 31, 253 (1925)
[4] S. Kobe, Phys. Bl., Mai 1995, S. 426 und J. Stat. Phys. 88, 991 (1997)
[5] H.A. Kramers, G.H. Wannier, Phys. Rev. 60, 252 (1941)
[6] L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944)
[7] E. Callen, D. Shapero, Phys. Today Juli 1974, S. 23
[8] E.E. Peters, Chaos and Order in the Capital Markets, Wiley & Sons, N.Y., 1991
[9] Yi Liu, J. P. Dilger, Biophys. J. 64 (1993) 26
[10] G.H. Wannier, Phys. Rev. B79 (1950) 357
[11] J.J. Hopfield, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 79 (1982) 2554; A. Engel, A. Zippelius, Phys. Bl., Januar 1996, S. 33; R. Männer, R. Lange, Phys. Bl., Mai 1994, S. 445
[12] G.A. Kohring, J. Phys. I France 6 (1996) 301
[13] R.N. Mantegna, H.E. Stanley, Econophysics, Cambridge University Press, im Druck